Question

6．已知：如圖，以C（-1，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A、B，直線l的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
（1）求證：直線l與⊙C相切；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥l于D，設(shè)直線l交x軸與E，交y軸于F，由解析式求得，∠E=30°，E（-5，0），F(xiàn)（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），通過解直角三角形函數(shù)求得OD=2=半徑，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)S_陰影=S_△EOF-S_扇形CAG-S_△OCG求得即可．

解答 （1）證明：作CD⊥l于D，設(shè)直線l交x軸與E，交y軸于F，
由直線l的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$可知，∠E=30°，
令y=0，則$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$=0，解得x=-5，
∴E（-5，0），
令x=0，則y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴F（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
∵C（-1，0），
∴EC=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$EC=2，
∵⊙C的半徑為2，
∴直線l與⊙C相切；
（2）解：設(shè)⊙C于y軸交于G點(diǎn)，
∵CG=2，OC=1，
∴∠OCG=60°，
∴∠AOG=2=120°，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG=$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_△EOF-S_扇形CAG-S_△OCG
=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形以及扇形面積的計算等，求得∠OCG=60°是解題的關(guān)鍵．