Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC、AC分別交于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AE=4，cosA=$\frac{2}{5}$，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點G，推出∠ODB=∠C；然后根據(jù)DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切線．
（2）首先判斷出：AG=$\frac{1}{2}$AE=2，然后判斷出四邊形OGFD為矩形，即可求出DF的值是多少．

解答 （1）證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點G，
，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠ODF=∠DFC=90°，
∴DF是⊙O的切線．

（2）解：AG=$\frac{1}{2}$AE=2，
∵cosA=$\frac{AG}{OA}$，
∴OA=$\frac{AG}{cosA}$=$\frac{2}{\frac{2}{5}}$=5，
∴OG=$\sqrt{{OA}^{2}{-AG}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，
∴四邊形OGFD為矩形，
∴DF=OG=$\sqrt{21}$．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及解直角三角形的應(yīng)用，要熟練掌握．