Question

3．如圖所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC邊上的中線AD=6．求BC²．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AD至E，使ED=AD，連接BE，由中線的定義得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，由SAS證明△BDE≌△CDA，得出對(duì)應(yīng)邊相等BE=AC=13，由勾股定理的逆定理證出∠BAD=90°，由勾股定理求出BD²，BC²=（2BD）²=4BD²，即可得出結(jié)果．

解答 解：延長(zhǎng)AD至E，使ED=AD，連接BE，如圖所示：
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
在△BDE和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=AD}&{\;}\\{∠BDE=∠CDA}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=13，
∵5²+12²=13²，
∴AB²+AE²=BE²，
∴∠BAD=90°，
∴BD²=AB²+AD²=5²+6²=61，
∴BC²=（2BD）²=4BD²=4×61=244．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理；通過(guò)作輔助線構(gòu)造三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等證出直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵