Question

18．如圖1，線段BE上有一點C，以BC，CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊三角形ABC，DCE，連接AE，BD，分別交CD，CA于Q，P．
（1）找出圖中的所有全等三角形．
（2）找出一組相等的線段，并說明理由．
（3）如圖2，取AE的中點M、BD的中點N，連接MN，試判斷三角形CMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CM=CN，根據(jù)等邊三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）△BCD≌△ACE；△BPC≌△AQC；△DPC≌△EQC
（2）BD=AE．
理由：等邊三角形ABC、DCE中，∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}BC=CA\\∠BCD=∠ACE\\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．
（3）等邊三角形．
理由：由△BCD≌△ACE，
∴∠1=∠2，BD=AE．
∵M是AE的中點、N是BD的中點，
∴DN=EM，又DC=CE．
在△DCN和△ECM中，$\left\{\begin{array}{l}DN=EM\\∠1=∠2\\ DC=EC\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．
∴∠NCD+∠DCM=60°，即∠NCM=60°，
又∵CM=CN，
∴△CMN為等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是全等三角形的判定，解（2）的關(guān)鍵是全等三角形的判定；解（3）的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．，又利用了等邊三角形的判定．