Question

8．【問(wèn)題提出】已知：等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)D在線段AC上，且△PDE為等邊三角形．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖1），AD+AE的值為          
[類比探究]在上面的問(wèn)題中，如果把點(diǎn)P沿BA方向移動(dòng)．使PB=1．其余條件不變（如圖2），AD+AE的值是多少？請(qǐng)寫出你的計(jì)算過(guò)程：
【拓展遷移】如圖3，△ABC中，AB=BC，△ABC=α，點(diǎn)P在線段BA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在線段CA延長(zhǎng)線上，在△PDE中．PD=PE，△DPE=α，設(shè)AP=m，則線段AD、AE有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)用含m，α的式子直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）[問(wèn)題提出]只要證明△EPA≌△DPC，即可推出AE=CD，可得AD+AE=AD+DC=AC=4；
（2）[類比探究]：如圖2中，作PK∥BC交AC于K．連接AE．利用（1）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題；
（3）[拓展遷移]：如圖3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一點(diǎn)K，使得PK=PA．由△PDK≌△PEA，推出DK=AE，推出AD-AE=AK=2AJ=2•m•sin$\frac{α}{2}$即可解決問(wèn)題．

解答 解：
（1）[問(wèn)題提出]如圖1中，

∵△PDE．△PAC都是等邊三角形，
∴PE=PD，PA=PC，∠EPD=∠APC=60°，
∴∠EPA=∠DPC，
∴△EPA≌△DPC，
∴AE=CD，
∴AD+AE=AD+DC=AC=4；
（2）[類比探究]：AD+AE=3．
理由如下：如圖2中，作PK∥BC交AC于K．連接AE．

易證△PAK是等邊三角形，
由上面題目可知AE+AD=AK=3；
（3）[拓展遷移]如圖3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一點(diǎn)K，使得PK=PA．

易證∠APK=∠DPE=α，
∵PD=PE，PK=PA，
∴∠DPK=∠EPA，
∴△PDK≌△PEA，
∴DK=AE，
∴AD-AE=AK=2AJ=2•m•sin$\frac{α}{2}$．
∴AD-AE=2m•sin$\frac{α}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．