Question

9．折紙?zhí)骄縯an 22.5°的值：如圖①，矩形紙片ABCD（AD＞AB）中，AB=1，將矩形紙片ABCD沿折痕AE對折，使B點落在邊AD上，點B和點F重合，如圖②所示；再剪去四邊形CEFD，余下部分如圖③所示；將圖③中的紙片沿折痕AG對折，使點F落在AE邊的點H處，如圖④所示．則tan 22.5°的值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

Answer 1

分析 設FG=x，則GH=x，根據(jù)△EHG是等腰直角三角形，可得GE=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$x，根據(jù)EF=1，可得x+$\sqrt{2}$x=1，進而得到x=$\sqrt{2}$-1，即FG=$\sqrt{2}$-1，在Rt△AFG中，根據(jù)tan∠FAG=tan22.5°=$\frac{FG}{AF}$進行計算即可．

解答 解：如圖④，設FG=x，則GH=x，
由折疊可得，∠GHE=90°，∠GEH=45°，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴GE=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$x，
∵圖②中，∠B=∠BAE=∠AFE=90°，AB=BE，
∴四邊形ABEF是正方形，
∴EF=AB=AF=1，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1，
即FG=$\sqrt{2}$-1，
由折疊可得，∠FAG=$\frac{1}{2}$∠EAF=$\frac{1}{4}$∠BAD=22.5°，
∴Rt△AFG中，tan∠FAG=tan22.5°=$\frac{FG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}-1$，
故選：A．

點評 本題主要考查了折疊問題，正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，解決問題的關鍵是依據(jù)等量關系列方程求解．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等．