Question

2．已知等邊△ABC邊AB上一動(dòng)點(diǎn)P，連接PC，在PC上方作等邊△PDC，連接AD，CD=3．
（1）如圖1，求證：AD∥BC；
（2）如圖2，若AP=2BP，AC與PD相交于N點(diǎn)，求DN的長；
（3）在（2）的條件下，若PF⊥CD交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，求PE的長．

Answer 1

分析 （1）證明△BCP≌△ACD，得出∠CAD=∠B=60°，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得出結(jié)論；
（2）延長DP交CB的延長線于點(diǎn)G，分別根據(jù)△ADP∽△BGP、△ADN∽△CGN，得出各線段之間的關(guān)系，然后可得出結(jié)論；
（3）取DN中點(diǎn)H，連接FH，則可判斷HF是△DNC的中位線，得出HF∥CN，利用相似三角形的性質(zhì)，可得出PE與PF之間的比例關(guān)系，在Rt△PCF中求出PF，即可得出PE．

解答 解：（1）∵∠BCP+∠PCA=∠ACD+∠PCA=60°，
∴∠BCP=∠ACD，
∵△ABC、△PDC是等邊三角形，
∴BC=AC，CP=CD，
在△BCP和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCP=∠ACD}\\{CP=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△ACD（SAS），
∴∠CAD=∠B=60°，
∴∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC．

（2）如圖，

延長DP交CB的延長線于點(diǎn)G，
設(shè)PB=2，則AP=4，
由（1）知：AD=PB=2，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△BGP，
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AP}{AB}$=2，
∴AD=2BG，
又∵△ADN∽△CGN，
∴$\frac{DN}{NG}$=$\frac{AD}{CG}$=$\frac{2}{BG+BC}$=$\frac{2}{1+AB}$=$\frac{2}{1+6}$=$\frac{2}{7}$，
設(shè)DN=2x，則NG=7x，
∵PD=2PG，
∴PD=6x=3，x=$\frac{1}{2}$，
∴DN=1．

（3）取DN中點(diǎn)H，連接FH，
∵H是ND中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，
∴HF是△DNC的中位線，
∴HF∥CN，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PN}{PH}$，
又∵PN=2ND，ND=2NH，
∴∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PN}{PH}$=$\frac{4}{5}$，
∴PE=$\frac{4}{5}$PF，
在Rt△PCF中，PF=$\sqrt{P{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{9-\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴PE=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形的綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及平行線的判定與性質(zhì)，掌握基本的判定方法與性質(zhì)定理是解決問題的基礎(chǔ)．