Question

6．已知菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點E，點F在BC的延長線上，且CF=BC，連接DF，點G是DF中點，連接CG．求證：四邊形ECGD是矩形．

Answer 1

分析 首先利用中位線定理證得CG∥BD，CG=$\frac{1}{2}BD$，然后根據四邊形ABCD是菱形得到AC⊥BD，DE=$\frac{1}{2}BD$，從而得到∠DEC=90°，CG=DE，最后利用CG∥BD，得到四邊形ECGD是矩形．

解答 證明：∵CF=BC，
∴C點是BF中點，
∵點G是DF中點，
∴CG是△DBF中位線，
∴CG∥BD，CG=$\frac{1}{2}BD$，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DE=$\frac{1}{2}BD$，
∴∠DEC=90°，CG=DE，
∵CG∥BD，
∴四邊形ECGD是矩形．

點評 本題考查了矩形的判定、菱形的性質及三角形的中位線定理，解題的關鍵是牢記菱形的有關判定的方法，難度不大．