Question

6．如圖，已知等腰直角△ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為10cm，AC與MN在同一直線上，開始時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，讓△ABC沿著MN方向以每秒1cm的速度移動(dòng)，最后點(diǎn)A與點(diǎn)N重合．
（1）直接寫出重疊部分周長y（cm）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，重疊部分周長等于△ABC周長的一半．（結(jié)果精確到1秒）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知重疊部分為等腰直角三角形，利用勾股定理可求得斜邊長，最后求得周長與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）先證明△ABC∽△ADM，然后利用相似三角形的相似比等于周長比求解即可..

解答 解：（1）如圖所示：

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°．
又∵∠DMA=90°，
∴∠MDA=∠DAM=45°
∴AM=DM=x．
由勾股定理得：DA=$\sqrt{M{D}^{2}+M{A}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∴y=2x+$\sqrt{2}$x（0≤x≤10）．
（2）∵∠DMA=∠C，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADM．
∵重疊部分周長等于△ABC周長的一半，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AM}{10}=\frac{1}{2}$．
解得：AM=5．
∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒時(shí)，重疊部分周長等于△ABC周長的一半．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖形，確定出三角形DMA為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．