Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度沿折線A-C-B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接DE，以DE為直角邊，點(diǎn)E為直線頂點(diǎn)向右側(cè)作等腰直角△DEF，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒
（1）直接寫出線段AC和BC的長(zhǎng)：AC=6$\sqrt{3}$，BC=6；
（2）若DF∥AC時(shí)，
①求t的值；
③若DF交BC于點(diǎn)H，EF交BC于點(diǎn)G，則四邊形DEGH的面積是18$\sqrt{3}$-$\frac{45}{2}$（直接寫答案）；
（3）當(dāng)點(diǎn)F落在△ABC三邊所在的直線上時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形30度角性質(zhì)求出BC，再利用勾股定理求出AC即可．
（2）①如圖1中，作DM⊥AC于M．在Rt△ADM中求出DM、AM，再證明△DEM是等腰直角三角形即可解決問題．
②如圖2中，根據(jù)S_{四邊形DEGH}=S_△DEF-S_△GHF計(jì)算即可解決問題．
（3）分四種情形）①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，作DM⊥AC于M．③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EM⊥AB于M．設(shè)BM=x．④如圖6中，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程，即可解決問題．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$．
故答案為6$\sqrt{3}$，6．

（2）①如圖1中，作DM⊥AC于M．

∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，
∵AC∥DF，
∴∠AED=∠EDF=45°，
∴∠EDM=90°-∠AED=45°，
∴∠NED=∠MDE=45°，
∴DM=ME，
∵AD=DB=6，∠A=30°，∠AMD=90°，
∴DM=ME=3，AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AE=3$\sqrt{3}$+3，
∴t=（3+3$\sqrt{3}$）s．
②如圖2中，

由①可知，DE=F=3$\sqrt{2}$，EC=AC-AE=6$\sqrt{3}$-（3+3$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$-3．
∵∠DMC=∠C=∠MDH=90°，
∴四邊形DMCH是矩形，
∴CH=DM=3，
∵∠CEG=∠CGE=45°，
∴EC=CG=3$\sqrt{3}$-3，
∵∠F=∠HGF=45°，
∴HF=HG=3-（3$\sqrt{3}$-3）=6-3$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形DEGH}=S_△DEF-S_△GHF=$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{2}$（6-3$\sqrt{3}$）²=18$\sqrt{3}$-$\frac{45}{2}$．
故答案為18$\sqrt{3}$-$\frac{45}{2}$．

（3）①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，在Rt△AED中，∵∠AED=90°，∠A=30°．AD=6，
∴DE=3，AE=3$\sqrt{3}$，
∴t=3$\sqrt{3}$．

②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，作DM⊥AC于M．

∵∠MED+∠MDE=90°，∠MED+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠MDE，∵DE=EF，∠DME=∠C=90°，
∴△DME≌△ECF，
∴DM=CE=3，
∴AE=AC=CE=6$\sqrt{3}$-3，
∴t=6$\sqrt{3}$-3．
③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EM⊥AB于M．設(shè)BM=x．

在Rt△EMB中，∵∠EMB=90°，∠MEB=30°，BM=x，
∴EB=2x，EM=$\sqrt{3}$x，
在Rt△DEM中，∵∠EDM=∠DEM=45°，
∴DM=EM=$\sqrt{3}$x，
∵DB=6，
∴$\sqrt{3}$x+x=6，
∴x=3（$\sqrt{3}$-1），
∴BE=6（$\sqrt{3}$-1），
∴AC+CE=6$\sqrt{3}$+6-6（$\sqrt{3}$-1）=12，
t=12．
④如圖6中，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，易知CE=EB=3，AC+CE=6$\sqrt{3}$+3，
∴t=6$\sqrt{3}$+3

綜上所述，當(dāng)t=3$\sqrt{3}$s或（6$\sqrt{3}$-3）s或12s或（6$\sqrt{3}$+3）s時(shí)，點(diǎn)F在△ABC三邊所在的直線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、30度的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)分類討論，注意不能漏解．屬于中考?jí)狠S題．