Question

12．正方體ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，BE=$\frac{1}{4}$，BF=$\frac{1}{7}$，動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，而當(dāng)碰到正方形頂點時沿入射路徑反彈，當(dāng)點P第一次返回E時，P所經(jīng)過的路程為（　�。�

• A． $\sqrt{65}$
• B． $\frac{3\sqrt{65}}{2}$
• C． 2$\sqrt{65}$
• D． $\frac{5\sqrt{65}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{7}{4}$，通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過的路徑的總長度．

解答 解：根據(jù)已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{7}{4}$，第一次碰撞點為F，在反射的過程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關(guān)系的三角形的相似可得第二次碰撞點為M，在DA上，且DM=$\frac{2}{7}$DA，第三次碰撞點為N，在DC上，且DN=$\frac{1}{2}$DC，第四次碰撞點為G，在CB上，且CG=$\frac{2}{7}$BC，第五次碰撞點為H，在DA上，且AH=$\frac{1}{7}$AD，第六次碰撞點為Z，在AB上，且AZ=$\frac{1}{4}$AD，第七次碰撞點為I，在BC上，且BI=$\frac{3}{7}$AD，第八次碰撞點為D，再反方向可到E，
由勾股定理可以得出EF=HZ=$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{7}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{28}$，F(xiàn)M=GH=ID=$\frac{4\sqrt{65}}{28}$，MN=NG=$\frac{2\sqrt{65}}{28}$，ZI=$\frac{3\sqrt{65}}{28}$，
P所經(jīng)過的路程為（$\frac{\sqrt{65}}{28}$×2+$\frac{4\sqrt{65}}{28}$×3+$\frac{2\sqrt{65}}{28}$×2+$\frac{3\sqrt{65}}{28}$）×2=$\frac{3\sqrt{65}}{2}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用．通過相似三角形的性質(zhì)來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來確定小球經(jīng)過的路程，是一道數(shù)學(xué)物理學(xué)科綜合試題，難度較大．