Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+2的頂點(diǎn)為D（1，$\frac{3}{2}$），
（1）試求拋物線的解析式；
（2）直線y=-x+4與拋物線交于B、C兩點(diǎn)，求△BCD得面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b}{2a}=1}\\{\frac{8a-^{2}}{4a}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解方程組即可；
（2）先求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，把x=1代入y=-x+4，求出y的值，得到E點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△BCD=S_△CDE+S_△BDE進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：∵拋物線y=ax²+bx+2的頂點(diǎn)為D（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b}{2a}=1}\\{\frac{8a-^{2}}{4a}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x+2；

（2）把y=-x+4代入y=$\frac{1}{2}$x²-x+2，
得-x+4=$\frac{1}{2}$x²-x+2，解得x=±2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+4=2；
當(dāng)x=-2時(shí)，y=2+4=6，
則B（-2，6），C（2，2）．
設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，如圖．
把x=1代入y=-x+4，得y=-1+4=3，則E（1，3），
所以S_△BCD=S_△CDE+S_△BDE=

1

2

×（3-$\frac{3}{2}$）×1+

1

2

×（3-$\frac{3}{2}$）×3=3．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積公式；會(huì)解一元二次方程；會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題．