Question

12．如圖，AM∥BN，∠MAB和∠NBA的平分線交于E點(diǎn)．求：
（1）∠AEB．
（2）過E點(diǎn)作直線，交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C，觀察線段DE，CE的數(shù)量關(guān)系，有何發(fā)現(xiàn)？證明你的結(jié)論．
（3）試說明無論DC的兩端在AM，BN上如何移動(dòng)，只要DC經(jīng)過點(diǎn)E，AD+BC的值就不變．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)先根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，得出∠BAE與∠ABE的度數(shù)之和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求出∠AEB的度數(shù)；
（2）先判定△BAF為等腰三角形，由“三線合一”可得AE=EF，進(jìn)而根據(jù)AAS判定△ADE≌△FCE，即可得出DE=CE；
（3）根據(jù)△ABF為等腰三角形，即可得出AB=BF=BC+CF，再根據(jù)△ADE≌△FCE，可得AD=CF，據(jù)此可得AD+BC的值始終為AB長．

解答 解：（1）∵AE、BE分別平分∠NBA、∠MAB，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠MAB+∠NBA）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴△ABE中，∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=90°；

（2）線段DE，CE的數(shù)量關(guān)系為：DE=CF．
證明：如圖，延長AE交BN于點(diǎn)F．
∵AM∥BN，
∴∠DAE=∠AFB，
又∠DAE=∠BAE，
∴∠AFB=∠BAF，
∴BF=BA，即△BAF為等腰三角形，
由（1）可得，BE⊥AF，即BE為等腰△BAF底邊AF上的高，
∴由“三線合一”可得AE=EF，即E為AF的中點(diǎn)，
又∠AED=∠FEC，∠DAE=∠CFE，
∴△ADE≌△FCE，
∴DE=CE；

（3）由（2）可得，△ABF為等腰三角形，
∴AB=BF=BC+CF，
又∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∴AB=BC+AD，即AD+BC的值始終為AB長．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形以及等腰三角形，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．