Question

19．如圖，直線y=$\frac{4}{3}$x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．
（1）求證：AB、CD互相平分．
（2）動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿AO、OC向點C作勻速運動，設點P運動的時間為t秒，在動點P從A出發(fā)的同時，動點Q從C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿CM向點M作勻速運動，當P，Q中的一點到達終點后，該點停止運動，另一點繼續(xù)運動，直至到達終點，整個運動停止，問：是否存在這樣的t，使得直線PQ將四邊形AOCM的面積分成1：3兩部分？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點A、B的坐標，由C為OB的中點，得出M為AB的中點，再求出CM為△OAB的中位線，得出CM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$CD=3，M為CD的中點，即可得出結論；
（2）分三種情況：①當0＜t＜3時，由題意得出關于t的方程，解方程即可；
②當t=3時，由△MOC的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=6≠18×$\frac{1}{4}$，得出t≠3；
③當3＜t≤5時，Q停止運動，OP=2t-6，得出CP=10-2t，由△MCP的面積=$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）=$\frac{1}{4}$×18，解方程即可．

解答 （1）證明：對于直線y=$\frac{4}{3}$x+8，
當x=0時，y=8；當y=0時，x=-6；
∴A（-6，0），B（0，8），OA=6，OB=8，
∵四邊形AOCD是矩形，
∴OA∥CD，CD=OA=6，
∵點C為OB的中點，
∴M為AB的中點，
∴CM為△OAB的中位線，
∴CM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴M為CD的中點，
∴AB、CD互相平分；
（2）解：存在；
梯形AOCM的面積=$\frac{1}{2}$（3+6）×4=18；
分三種情況討論：
①當0＜t＜3時，如圖1所示：
若梯形APQM的面積=$\frac{1}{2}$（2t+3-t）×4=18×$\frac{1}{4}$，
解得：t=-$\frac{3}{4}$，不合題意，舍去；
若梯形APQM的面積=$\frac{1}{2}$（2t+3-t）×4=18×$\frac{3}{4}$，
解得：t=$\frac{15}{4}$，不合題意，舍去；
②當t=3時，∵△MOC的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=6≠18×$\frac{1}{4}$，
∴t≠3；
③當3＜t≤5時，如圖2所示：
Q停止運動，OP=2t-6，
∴CP=4-（2t-6）=10-2t，
當△MCP的面積=$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）=$\frac{1}{4}$×18時，
解得：t=$\frac{7}{2}$，符合題意；
綜上所述：當t=$\frac{7}{2}$時，直線PQ將四邊形AOCM的面積分成1：3兩部分．

點評 本題是一次函數綜合題，考查了一次函數點的坐標特征、三角形中位線的性質、梯形面積的計算、三角形面積的計算、解方程等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）中，需要進行分類討論，才能得出結果．