Question

5．已知BC是⊙O的一條弦，A為優(yōu)弧$\widehat{BC}$上一點(diǎn)，⊙O的半徑為R．
（1）如圖1：若∠A=30°，則$\frac{BC}{2R}$=$\frac{1}{2}$；如圖2：若∠A=45°，則$\frac{BC}{2R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）如圖3：∠A為銳角，猜想：$\frac{BC}{2R}$=sin∠A，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖4，∠A=60°，點(diǎn)B、C分別在∠A的兩條邊上（不與A重合），且BC=4，利用（2）的結(jié)論求AC的最大值．

Answer 1

分析 （1）作OD⊥BC于D，根據(jù)垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)求得∠BOD=∠A，解直角三角形即可求得；
（2）作OD⊥BC于D，根據(jù)垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)求得∠BOD=∠A，解直角三角形即可求得sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{2BD}{2R}$=$\frac{BC}{2R}$，從而求得$\frac{BC}{2R}$=sin∠A．
（3）因?yàn)锳C的最大值是圓的直徑，只要求得△ABC外接圓的直徑即可，根據(jù)（2）結(jié)論即可求得．

解答 解：（1）如圖1，∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
作OD⊥BC于D，
∴BD=DC，
∴OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2BD}{2OB}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{BC}{2R}$=$\frac{1}{2}$；
如圖2，∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
作OD⊥BC于D，
∴BD=DC，
∴OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°，
∴sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{2BD}{2OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
即$\frac{BC}{2R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案為$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）猜想：$\frac{BC}{2R}$=sin∠A；
如圖3，作OD⊥BC于D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴$∠BOD=\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BOD=∠A，
在RT△BOD中，sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{2BD}{2R}$=$\frac{BC}{2R}$，
∴$\frac{BC}{2R}$=sin∠A．
故答案為sin∠A．
（3）當(dāng)AC是外接圓的直徑時，AC最大，
由（2）可知sin∠A=$\frac{BC}{2R}$，
∵∠A=60°，BC=4，
∴2R=$\frac{BC}{sin60°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$．
即AC的最大值為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理以及直角三角形的正弦函數(shù)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．