Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E．
（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)以點(diǎn)O，D，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）求證：4DE²=BD•BA．

Answer 1

分析 （1）利用EC為⊙O的切線，ED也為⊙O的切線可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)四邊形ODEC為正方形時(shí)，∠OCD=45°，由于AC為直徑得到∠ADC=90°，于是得到∠A=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°，根據(jù)∠ACB=90°，于是得到結(jié)論△ABC是等腰直角三角形；
（3）由AC是⊙O是直徑，得到CD⊥AB，由于∠ACB=90°，證得△BCD∽△BAC，得到$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即BC²=BD•BA，由（1）可知BC=2DE，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接OD，
∵DE為切線，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED，
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°．
∴∠B=∠BDE，
∴ED=EB．
∴EB=EC，
即點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

（2）當(dāng)四邊形ODEC為正方形時(shí)，∠OCD=45°，
∵AC為直徑∴∠ADC=90°，
∴∠A=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°，
又∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）∵AC是⊙O是直徑，
∴CD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即BC²=BD•BA，
由（1）可知BC=2DE，
∴4DE²=BD•BA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．