Question

4．如圖1，已知△ABC與△ECD，AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，連接BE、AD，若BE=AD．
（1）求證：BE⊥AD；
（2）如圖2，當(dāng)E點(diǎn)在AB上時(shí)，連接BD，過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BD于H，延長(zhǎng)EH與∠ACB外角的平分線交于F，請(qǐng)你探究線段EF與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）過(guò)B作BH⊥EC，AK⊥CD，則∠BHC=∠AKC=90°，BC=AC，根據(jù)AAS定理得出∠HBC=∠CAK，AK=BC，再由HL定理得出△BEH≌△ADK，故∠EBC=∠CAD，延長(zhǎng)BE交AD于M，根據(jù)∠BCA=∠BMA=90°即可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)CD至G，使得CD=CG，連接BG，由SAS定理可知△ACE≌BCG，故∠EAC=∠CBG=45°，∠DAB=∠ABG=90°，∠DAB+∠ABG=180°，AD∥BG，∠3=∠DBG．再由相似三角形的判定定理得出△DBG∽EFC，故$\frac{DG}{EC}=\frac{BD}{EF}$根據(jù)DG=2EC即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD．
過(guò)B作BH⊥EC，AK⊥CD，則∠BHC=∠AKC=90°，BC=AC，
在△BCH與△ACK中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BCE=∠ACD\\∠BHC=∠AKC\\ BC=AC\end{array}\right.$，
∴△BCH≌ACK（AAS），
∴∠HBC=∠CAK，AK=BC．
在△BEH與△ADK中，
$\left\{\begin{array}{l}BH=AK\\ BE=AD\\∠BHE=∠AKD=90°\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△ADK（HL），
∴∠EBH=∠KAD，
∴∠EBC=∠CAD，
延長(zhǎng)BE交AD于M，
∵∠BCA=∠BMA=90°，
∴BE⊥AD．

（2）延長(zhǎng)CD至G，使得CD=CG，連接BG，
∵由（1）∠BCE=∠ACD，
∴∠ACE=∠BCG．
在△ACE與△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\∠ACE=∠BCG\\ CG=CE\end{array}\right.$，
∴△ACE≌BCG（SAS），
∴∠EAC=∠CBG=45°，
∴∠DAB=∠ABG=90°，
∴∠DAB+∠ABG=180°，
∴AD∥BG，
∴∠3=∠DBG
∵∠EAD=∠EHD=∠ECD=90°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠BCG=∠ABC=45°，
∴CF∥BE，
∴∠F=∠4，
∴∠F=∠DBG，
∴△DBG∽EFC，$\frac{DG}{EC}=\frac{BD}{EF}$
又∵DG=2EC，
∴BD=2EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度較大．