Question

1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，B為AO的中點(diǎn)，DC⊥DB交x軸于點(diǎn)C，E在y軸上，且OC=OE，經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線與直線AD交于F、G兩點(diǎn)，與其對(duì)稱(chēng)軸交于M點(diǎn)
（1）求經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）P為線段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與F、G不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q．若以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)H，使以C，D，N，H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．若存在，求出滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可以求出點(diǎn)B、E、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，那么△PQM也必須是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本題分兩種情況：①PQ為斜邊，M為直角頂點(diǎn)；②PM為斜邊，Q為直角頂點(diǎn)；
首先求出直線AD的解析式，進(jìn)而可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線AD的解析式表示出P、Q的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長(zhǎng)；在①中，PQ的長(zhǎng)為M、P橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值的2倍；在②中，PQ的長(zhǎng)正好等于M、P橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，由此可求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）需要分類(lèi)討論：當(dāng)CD為邊和當(dāng)CD為對(duì)角線兩種情況，利用“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得符合條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在y=x+2中，令x=0，y=0，于是得到A（-2，0），D（0，2），
∴B（-1，0），
∵BD⊥CD，
∴OD²=OB•OC，
∴C（4，0），E（0，4），設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x-4），
∴a×1×（-4）=4，解得a=-1，
∴經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4；

（2）∵A（-2，0），D（0，2）；
所以直線AD：y=x+2；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得F（1-$\sqrt{3}$，3-$\sqrt{3}$），G（1+$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$）；
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2）（1-$\sqrt{3}$＜x＜1+$\sqrt{3}$），則Q（x，-x²+3x+4）；
∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2；
由條件容易求得M（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$），
若以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，則△PQM為等腰直角三角形；
①以M為直角頂點(diǎn)，PQ為斜邊；PQ=2|x_M-x_P|，
即：-x²+2x+2=2（$\frac{3}{2}$-x），
解得x=2-$\sqrt{3}$，x=2+$\sqrt{3}$（不合題意舍去）
∴P（2-$\sqrt{3}$，4-$\sqrt{3}$）；
②以Q為直角頂點(diǎn)，PM為斜邊；PQ=|x_M-x_Q|，
即：-x²+2x+2=$\frac{3}{2}$-x，
解得x=$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$，x=$\frac{3+\sqrt{11}}{2}$（不合題意舍去）
∴P（$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{11}}{2}$）
故存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（2-$\sqrt{3}$，4-$\sqrt{3}$）或（$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{11}}{2}$）；

（3）當(dāng)CD為邊時(shí)，NH∥CD，NH=CD，
∴x_N-x_H=±4，
∴x_N=$\frac{11}{2}$或x_N=-$\frac{5}{2}$．
代入y=-x²+3x+4得y_N=-$\frac{31}{4}$，而y_N-y_H=±2，
∴y_H=-$\frac{31}{4}$或y_H=-$\frac{47}{4}$，
∴H（$\frac{3}{2}$，-$\frac{31}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{47}{4}$）；
若CD為對(duì)角線，ND∥CH，ND=CH．
x_N-x_D=$\frac{5}{2}$
∴x_N=$\frac{5}{2}$．
代入y=-x²+3x+4得y_N=$\frac{21}{4}$，而y_C-y_H=y_N-y_D=$\frac{13}{4}$，
∴y_H=-$\frac{13}{4}$，
∴H（$\frac{3}{2}$，-$\frac{13}{4}$）．
綜上所述，共有3個(gè)點(diǎn)H滿足條件，即（$\frac{3}{2}$，-$\frac{31}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{47}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{13}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．