Question

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB邊上任意一點，連接DE．過點C作線段DE的平行線，交AB延長線于點F．
（1）證明：AE=BF．
（2）過點E作EG⊥CF，垂足為點G．點M為DC邊中點，連接ME，MG．
①根據(jù)題意完成作圖；
②猜想線段ME，MG的數(shù)量關(guān)系，并寫出你的證明思路．

Answer 1

分析 （1）只要證明四邊形EFCD是平行四邊形，可得EF=CD=AB，即可推出AE=BF；
（2））①作圖，如圖所示；
②猜想：ME=MG，只要證明△DEM≌△CHM，可得EM=MH，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可證明；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵DE∥CF，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴EF=CD，
∴EF=AB，
∴EF-BE=AB-BE，
∴AE=BF．

（2）①作圖，如圖所示．

②猜想：ME=MG．
理由：延長EM，F(xiàn)C交于點．
∵DE∥FH，
∴∠DEM=∠H，
在△DEM和△CHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠H}\\{∠DME=∠HMC}\\{DM=MC}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△CHM，
∴ME=MH，
∵EG⊥FH，
在Rt△EHG中，∵EM=MH，
∴GM=EM=MH，
∴ME=MG．

點評 本題考查復雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．