Question

16．如圖，CD是⊙O的直徑，OB⊥CD交⊙O于點(diǎn)B，連接CB，AB是⊙O的弦，AB交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的延長線上一點(diǎn)且AF=EF．
（1）判斷AF和⊙O的位置關(guān)系并說明理由
（2）若∠ABC=60°，BC=1cm，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OA，如圖，由AF=AE得∠FAE=∠FEA，再利用對(duì)頂角相等和∠OBA=∠OAB可得∠OAB+∠FEA=90°，即∠OAF=90°，則OA⊥AF，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷AF為⊙O的切線；
（2）先判斷△OBC為等腰直角三角形得到OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再利用圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=120°，則∠AOF=180°-∠AOC=60°，接著根據(jù)正切定義計(jì)算AF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式，利用S_陰影部分=S_△OAF-S_扇形AOD進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：（1）AF和⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OA，如圖，
∵AF=AE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠FEA=∠OEB，
∴∠FAE=∠OEB，
∵OB⊥CD，
∴∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠OEB=90°，
而OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OAB+∠FEA=90°，即∠OAF=90°，
∴OA⊥AF，
∴AF為⊙O的切線；
（2）∵OB⊥CD，
而OB=OC，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，
∴∠AOF=180°-∠AOC=60°，
在Rt△OAF中，∵tan∠AOF=$\frac{AF}{AO}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴S_陰影部分=S_△OAF-S_扇形AOD
=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{60•π•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{360}$
=$\frac{3\sqrt{3}-π}{12}$（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形面積的計(jì)算．