Question

6．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為（3，0），頂點C的坐標為（1，4）．

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；
（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為2$\sqrt{2}$？若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)拋物線解析式為頂點式，由B點坐標可求得拋物線的解析式，則可求得D點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線BD解析式；
（2）設(shè)出P點坐標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；
（3）過Q作QG∥y軸，交BD于點G，過Q和QH⊥BD于H，可設(shè)出Q點坐標，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于Q點坐標的方程，可求得Q點坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線的頂點C的坐標為（1，4），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
∵點B（3，0）在該拋物線的圖象上，
∴0=a（3-1）²+4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3，
∵點D在y軸上，令x=0可得y=3，
∴D點坐標為（0，3），
∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+3，
把B點坐標代入可得3k+3=0，解得k=-1，
∴直線BD解析式為y=-x+3；
（2）設(shè)P點橫坐標為m（m＞0），則P（m，-m+3），M（m，-m²+2m+3），
∴PM=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當m=$\frac{3}{2}$時，PM有最大值$\frac{9}{4}$；
（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，

設(shè)Q（x，-x²+2x+3），則G（x，-x+3），
∴QG=|-x²+2x+3-（-x+3）|=|-x²+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
當△BDQ中BD邊上的高為2$\sqrt{2}$時，即QH=HG=2$\sqrt{2}$，
∴QG=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
∴|-x²+3x|=4，
當-x²+3x=4時，△=9-16＜0，方程無實數(shù)根，
當-x²+3x=-4時，解得x=-1或x=4，
∴Q（-1，0）或（4，-5），
綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（-1，0）或（4，-5）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及方程思想等知識．在（1）中主要是待定系數(shù)法的考查，注意拋物線頂點式的應(yīng)用，在（2）中用P點坐標表示出PM的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中構(gòu)造等腰直角三角形求得QG的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．