Question

3．如圖，P是⊙O外一點，OP交⊙O于點A，OA=AP．甲、乙兩人想作一條通過點P與⊙O相切的直線，其作法如下．
甲：以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交⊙O于點B，則直線BP即為所求．
乙：過點A作直線MN⊥OP：以點O為圓心，OP為半徑畫弧，交射線AM于點B，連接OB，交⊙O于點C，直線CP即為所求．
對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（　�。�

• A． 甲正確，乙錯誤
• B． 乙正確，甲錯誤
• C． 兩人都正確
• D． 兩人都錯誤

Answer 1

分析 對于甲的作法，連結OB，如圖1，先判斷OP為⊙A的直徑，再根據(jù)圓周角定理得到∠OBP=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到PB為⊙O的切線；
對于乙的作法：如圖2，通過證明△OAB≌△OCP得到∠OAB=∠OCP=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到PC為⊙O的切線．

解答 解：對于甲的作法：

連結OB，如圖1，
∵OA=AP，
∴OP為⊙A的直徑，
∴∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB為⊙O的切線，所以甲的說法正確；
對于乙的作法：

如圖2，
∵MN⊥OP，
∴∠OAB=90°，
∵OA=AP，OB=OP，
∴OB=OP，
在△OAB和OCP中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOB=∠COP}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△OCP，
∴∠OAB=∠OCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC為⊙O的切線，所以乙的說法正確．
故選C．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了作圖-復雜作圖．