Question

9．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們?cè)谏刃渭埰琌AB上畫(huà)出一個(gè)正方形，使得正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在扇形半徑OA、OB和弧AB上．有一部分同學(xué)是這樣畫(huà)的：如圖1，先在扇形OAB內(nèi)畫(huà)出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F(xiàn)在OB上，連結(jié)OE并延長(zhǎng)交弧AB與G點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G，作GJ⊥OA于點(diǎn)J，作GH⊥GJ交OB于點(diǎn)H，再作HI⊥OA于點(diǎn)I．

（1）請(qǐng)問(wèn)他們畫(huà)出的四邊形GHIJ是正方形嗎？如果是，請(qǐng)給出你的證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）還有一部分同學(xué)用另外一種不同于圖1的方法畫(huà)出的，請(qǐng)你參照?qǐng)D1的畫(huà)法，在圖2上畫(huà)出這個(gè)正方形（保留畫(huà)圖痕跡，不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）由作法可得四邊形CDEF與四邊形IJGH是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，由于四邊形CDEF為正方形，所以四邊形GHIJ是正方形；
（2）先畫(huà)正方形CDEF，點(diǎn)C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，使它的位似圖形的四個(gè)頂點(diǎn)落在扇形半徑OA、OB和弧AB上即可．

解答 解：（1）四邊形GHIJ是正方形．
證明如下：如圖1，
∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，
∴∠GJO=∠JIH=∠JGH=90°，
∴四邊形GHIJ是矩形，
∵四邊形CDEF是正方形，CD邊與矩形GHIJ的IJ邊在同一條直線上
∴FC∥HI，EF∥GH，
∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO．…（2分）
∴$\frac{OF}{OH}=\frac{FC}{HI}$，$\frac{OF}{OH}=\frac{EF}{GH}$．
∴$\frac{FC}{HI}=\frac{EF}{GH}$．
又∵FC=EF，
∴HI=GH．
∴四邊形GHIJ是正方形；
（2）如圖2，正方形MNGH為所作．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．