Question

3．有一根直尺，短邊的長為2cm，長邊的長為10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm．如圖①，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，將直尺沿AB方向平移，如圖②．設(shè)平移的長度為x cm，且滿足0≤x≤10，直尺與直角三角形紙板重合部分的面積（即圖中陰影部分）為Scm²．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，S=2cm²；當(dāng)x=4時(shí)，S=10cm²；當(dāng)x=10時(shí)，S=2cm²．
（2）是否存在一個(gè)位置，使陰影部分的面積為11cm²？若存在，求出此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=0cm時(shí)，直尺和三角形紙板重疊部分的面積是兩直角邊都為2厘米的三角形面積；當(dāng)x=4cm時(shí)，直尺和三角形紙板重疊部分的面積=兩直角邊都為6厘米的三角形面積-兩直角邊都為4厘米的三角形面積；當(dāng)x=10cm時(shí)，直尺和三角形紙板重疊部分的面積是兩直角邊都為2厘米的三角形面積；
（2）根據(jù)陰影部分面積為11cm²，列出方程-x²+10x-14=11，解方程即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)x=0cm時(shí)，S=2×2÷2=2cm²；
當(dāng)x=4cm時(shí)，S=6×6÷2-4×4÷2=10cm²；
當(dāng)x=10cm時(shí)，S=2×2÷2=2cm²．
故答案為：2cm²；10cm²；2cm²．

（2）當(dāng)x=4時(shí)，S=10cm²，
所以當(dāng)S=11cm²時(shí)，x必然大于4，即-x²+10x-14=11，
解得x₁=x₂=5，
所以當(dāng)x=5cm時(shí)，陰影部分面積為11cm²．

點(diǎn)評 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，涉及的知識點(diǎn)有：直角三角形的面積，矩形的性質(zhì)，梯形的面積，分類思想的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度中等．