Question

8．如圖，⊙O的直徑為AB，弦CD⊥AB于G，PE切⊙O于E交DC延長線于點P，AE交PD于點F．求證：
（1）PE=PF；
（2）PF²=PC•PD．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)切線的性質和圓的半徑相等推導即可；
（2）由切割線定理和等量代換可得答案．

解答 證明（1）連接OE，
∵PE為⊙O的切線，
∴∠OED=90°，即∠OEA+∠GFA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠FGA=90°，即∠OAE+∠PEF=90°，
∵OA=OE，
∠OAE=∠OEA，
∴∠AFG=∠PEF，
又∠AFG=∠PFE，
∴∠PFE=∠PEF，
∴PE=PF；
（2）根據(jù)切割線定理，PE²=PC•PD，
又PE=PF，
∴PF²=PC•PD．

點評 本題考查的是切線的性質，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是解題的關鍵，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．