Question

14．如圖，在長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b），且a，b滿足|a-4|+$\sqrt{b-6}$=0，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，6），當(dāng)點(diǎn)P移動3.5秒時，點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，2）；
（2）在移動過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個單位長度時，求點(diǎn)P移動的時間；
（3）在移動過程中，當(dāng)△OBP的面積是10時，求點(diǎn)P移動的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\sqrt{a-4}$+|b-6|=0，可以求得a、b的值，根據(jù)長方形的性質(zhì)，可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；根據(jù)題意點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動，可以得到當(dāng)點(diǎn)P移動4秒時，點(diǎn)P的位置和點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）由題意可以得到符合要求的有兩種情況，分別求出兩種情況下點(diǎn)P移動的時間即可．
（3）分為點(diǎn)P在OC、BC、AB、AO上分類計算即可．

解答 解：：（1）∵a、b滿足$\sqrt{a-4}$+|b-6|=0，
∴a-4=0，b-6=0，
解得a=4，b=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，6），
∵點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動，
∴2×3.5=7，
∵OA=4，OC=6，
∴當(dāng)點(diǎn)P移動4秒時，在線段CB上，離點(diǎn)C的距離是：7-6=1，
即當(dāng)點(diǎn)P移動4秒時，此時點(diǎn)P在線段CB上，離點(diǎn)C的距離是2個單位長度，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，6）；
故答案為（4，6），（1，6）．

（2）由題意可得，在移動過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個單位長度時，存在兩種情況，
第一種情況，當(dāng)點(diǎn)P在OC上時，
點(diǎn)P移動的時間是：4÷2=2秒，
第二種情況，當(dāng)點(diǎn)P在BA上時．
點(diǎn)P移動的時間是：（6+4+2）÷2=6秒，
故在移動過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個單位長度時，點(diǎn)P移動的時間是2秒或6秒．
（3）如圖1所示：

∵△OBP的面積=10，
∴$\frac{1}{2}$OP•BC=10，即 $\frac{1}{2}$×4×OP=10．
解得：OP=5．
∴此時t=2.5s
如圖2所示；

∵△OBP的面積=10，
∴$\frac{1}{2}$PB•OC=10，即 $\frac{1}{2}$×6×PB=10．
解得：BP=$\frac{10}{3}$．
∴CP=$\frac{2}{3}$．
∴此時t=$\frac{10}{3}$s，
如圖3所示：

∵△OBP的面積=10，
∴$\frac{1}{2}$BP•BC=10，即 $\frac{1}{2}$×4×PB=10．
解得：BP=5．
∴此時t=$\frac{15}{2}$s
如圖4所示：

∵△OBP的面積=10，
∴$\frac{1}{2}$OP•AB=10，即 $\frac{1}{2}$×6×OP=10．
解得：OP=$\frac{10}{3}$．
∴此時t=$\frac{25}{3}$s
綜上所述，滿足條件的時間t的值為2.5s或$\frac{10}{3}$s或$\frac{15}{2}$s或$\frac{25}{3}$s．

點(diǎn)評 本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．