Question

5．有一個(gè)內(nèi)角等于120°的菱形周長(zhǎng)為8cm，則較短的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2cm．較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是30°，面積是2$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 先求出菱形邊長(zhǎng)，再證明△ABD是等邊三角形，得出較短對(duì)角線(xiàn)=邊長(zhǎng)，較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角∠BAC=30°，由勾股定理求出OA，得出AC，關(guān)鍵菱形的面積═$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，周長(zhǎng)為8cm，∠ABC=120°，
∴AB=AD=2cm，∠ABC=60°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=2cm，∠BAD=60°，OB=1cm，
∴∠BAC=30°，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$；
故答案為：2；30°；2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、勾股定理以及菱形面積的計(jì)算；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．