Question

5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A為第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC=2∠BDO，過D作DM⊥AC于點(diǎn)M．
（1）求證：∠ABD=∠ACD．
（2）若點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上，求證：AD平分∠CAE．
（3）當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{AC-AB}{AM}$的值是否發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-∠BAC=180-2∠BDO①；連接CD，證出BD=CD，在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180-2∠BDO②；由一樣會(huì)②即可得出結(jié)論；
（2）過D作DN⊥BE于N，由AAS證明△BDN≌△CDM，得出∵DM⊥AC，DM=DN，即可得出結(jié)論；
（3）由全等三角形的性質(zhì)得出BN=CM；證出AN=AM；得出AC=AB=2AM，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：在△ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-∠BAC，
∵∠BAC=2∠BDO，
∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-∠BAC=180-2∠BDO①；
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），
∴OB=OC，∵DO⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BDO=∠CDO，∠BDC=2∠BDO，
連接CD，在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180-2∠BDO②；
①-②得：∠ABD-∠ACD=0，
∴∠ABD=∠ACD； 
（2）證明：過D作DN⊥BE于N，如圖所示：
∵DM⊥AC，
∴∠DNB=∠DMC=90°，
在△BDN和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNB=∠DMC}&{\;}\\{∠ABD=∠ACD}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDN≌△CDM（AAS），
∴DN=DM，
∴AD是∠CAE的角平分線，
即AD平分∠CAE；
（3）解：∵△BDN≌△CDM，
∴BN=CM；
由AD是∠CAE的角平分線，得AN=AM；
又BN=AN+AB=AM+AB；  CM=AC-AM；
∴AC=AB=2AM，
∴$\frac{AC-AB}{AM}$=2，
即$\frac{AC-AB}{AM}$的值是定值2．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的判定等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．