Question

10．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．
（1）觀察猜想：如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，
①BC與CF的位置關(guān)系是：BC⊥CF；
②BC、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系為：BC=CF+CD（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上）
（2）數(shù)學(xué)思考：如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述①、②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案為：BC⊥CF；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案為：BC=CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．