Question

5．如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊BC上任意一點，以直線AD為對稱軸，作Rt△ABC的軸對稱圖形Rt△AEF，點M、點N、點P、點Q分別為AB、BC、EF、EA的中點．
（1）求證：MN=PQ；
（2）如圖2，當BD=$\frac{1}{3}BC$時，判斷點M、點N、點P、點Q圍成的四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若BC=6，請你直接寫出點M、點N、點P、點Q圍成的圖形共有哪些形狀及對應(yīng)的BD的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理證明MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ=$\frac{1}{2}$AF，根據(jù)軸對稱得到AC=AF，得到答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定定理證明△PDN∽△EDB，得到MQ∥PN且MQ=PN，得到四邊形MQNP是平行四邊形，根據(jù)MN=PQ，證明四邊形MQNP是矩形；
（3）由（1）（2）的結(jié)論進行解答即可．

解答 （1）證明：如圖1，
∵△ABC與△AEF關(guān)于直線AD對稱，
∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，
∵點M、N、P、Q分別是AB、BC、EF、EA的中點，
∴MN、PQ分別是△ABC和△AEF的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ=$\frac{1}{2}$AF，
∴MN=PQ；
（2）解：當BD=$\frac{1}{3}$BC時，點M、點N、點P、點Q圍成的四邊形是矩形．
如圖2，連結(jié)BE、MN、PQ，，
∵點M、點Q是AB、AE的中點．
∴MQ∥BE且MQ=$\frac{1}{2}$BE，
∵點N是BC中點，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，
又∵BD=$\frac{1}{3}$BC，
∴DN=BN-BD=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{6}$BC，
∴$\frac{DN}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∵點B與點E關(guān)于直線AD對稱，
∴BE⊥AD，
同理PN⊥AD，
∴BE∥PN，
∴△PDN∽△EDB，
∴$\frac{PN}{BE}$=$\frac{DN}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴MQ∥PN且MQ=PN，
∴四邊形MQNP是平行四邊形，
∵MN=PQ，
∴四邊形MQNP是矩形．
（3）由圖形和（2）的結(jié)論可知，
當BD=0時，點M、點N、點P、點Q圍成等腰三角形；
當0＜BD＜2時，點M、點N、點P、點Q圍成等腰梯形；
當BD=2時，點M、點N、點P、點Q圍成矩形；
當2＜BD＜3時，點M、點N、點P、點Q圍成等腰梯形；
當BD=3時，點M、點N、點P、點Q圍成等腰三角形；
當3＜BD＜6時，點M、點N、點P、點Q圍成等腰梯形；
當BD=6時，點M、點N、點P、點Q圍成矩形．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和三角形中位線定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵．