Question

10．定義：如果兩條線(xiàn)段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的三分線(xiàn)．
如圖1，把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，我們把這兩條線(xiàn)段叫做等腰三角形的三分線(xiàn)．
（1）如圖2，請(qǐng)用兩種不同的方法畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線(xiàn)，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）
（2）如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請(qǐng)畫(huà)出△ABC的三分線(xiàn)，并求出三分線(xiàn)的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的判定定理容易畫(huà)出圖形；由等腰三角形的性質(zhì)即可求出各個(gè)頂角的度數(shù)；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定定理容易畫(huà)出圖形；設(shè)∠B=α，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，則△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，得出方程組，解方程組即可．

解答 解：（1）作圖如圖1、圖2所示：
在圖1中，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=45°，
∴∠ADC=90°；
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠B=∠ACB=67.5°，
∴∠ECD=67.5°-45°=22.5°，
∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD=22.5°，
∴∠DEC=135°，
∴∠BED=45°，
即三個(gè)等腰三角形的頂角分別為90°、135°、45°；
在圖2中，∵AD=DE，
∴∠DEA=∠A=45°，
∴∠ADE=90°，∠DEC=135°；
∵BC=DC，
∴∠CDB=∠B=67.5°，
∴∠BCD=45°，
即三個(gè)等腰三角形的頂角分別為90°、135°、45°；
（2）如圖3所示，CD、AE就是所求的三分線(xiàn)．
設(shè)∠B=α，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此時(shí)△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y=2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x=（x+y）：2，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x：y=2：3}\\{2：x=（x+y）：2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{10}}{5}}\\{y=\frac{3\sqrt{10}}{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{10}}{5}}\\{y=-\frac{3\sqrt{10}}{5}}\end{array}\right.$ （負(fù)值舍去），
∴AE=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，CD=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
即三分線(xiàn)長(zhǎng)分別是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$ 和$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的畫(huà)圖、相似三角形的判定與性質(zhì)、解方程組等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．