Question

15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，以DC為直徑的⊙O交△ABC的三邊，交點(diǎn)分別是G、F、E點(diǎn)，GE，CD的交點(diǎn)為M，且ME=4$\sqrt{6}$，MD：CO=2：5．
（1）求證：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直徑CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接DF，根據(jù)CD是圓直徑，可知∠CFD=90°即DF⊥BC，DF∥AC，推出∠BDF=∠A，在⊙O中∠BDF=∠GEF，所以∠GEF=∠A；
（2）根據(jù)D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DC=DA，∠DCA=∠A，可證明△OME與△EMC相似，所以，ME²=OM×MC，結(jié)合MD：CO=2：5，OM：MD=3：2，OM：MC=3：8，設(shè)OM=3xMC=8x，可求x=2，則直徑CD=10x=20．

解答 （1）證明：連接DF，
∵CD是圓直徑∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，∴∠GEF=∠A．

（2）解：∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC相似，
∴$\frac{OM}{NE}$=$\frac{CM}{OM}$，
∴ME²=OM×MC，
又∵M(jìn)E=4$\sqrt{6}$，
∴OM×MC=（4$\sqrt{6}$）²=96，
∵M(jìn)D：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，
∴OM：MC=3：8，
設(shè)OM=3xMC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
直徑CD=10x=20．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，利用了等量代換及方程的思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．