Question

18．拋物線y=1-x²與y軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)B（0，-1）作y軸的垂線交上述拋物線于點(diǎn)C，D，點(diǎn)T是線段CD上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為t，連接AT交x軸于點(diǎn)N，點(diǎn)M是上述拋物線上一動點(diǎn)（M不與點(diǎn)A重合且在CD的上方），其橫坐標(biāo)為m，延長MN至點(diǎn)G，使NM=NG．
（1）用m，t表示點(diǎn)G 的坐標(biāo)；（圖1供參考）
（2）設(shè)以點(diǎn)T為頂點(diǎn)的另一條拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)G，M，且點(diǎn)M到CD的距離HM=0.25，說明點(diǎn)G是否在拋物線y=1-x²上，并求MT的長度．（圖2供參考）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)M作ME⊥x軸于E，過點(diǎn)G作GF⊥x軸于F，過點(diǎn)T作TH⊥x軸于H，求出ME=m²-1，根據(jù)△ENM≌△FNG得出GF=ME=m²-1，證出△TNH≌△ANO，HN=ON，得出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$t，0），EN=FN=$\frac{1}{2}$t-m，求出OF=t-m，即可得出點(diǎn)G 的坐標(biāo)；
（2）設(shè)另一條拋物線的解析式為y=a（x-t）²-1，根據(jù)拋物線過點(diǎn)M得出拋物線解析式為y=$\frac{2-{m}^{2}}{（m-t）^{2}}$•（x-t）²-1，根據(jù)x=t-m時(shí)，y=m²-1，得出點(diǎn)G在拋物線上，根據(jù)MH=0.25，得出m²-1=0.75，求出點(diǎn)M、點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)G是在拋物線y=1-x²上，得出$\frac{3}{4}$=1-（t+$\frac{\sqrt{7}}{2}$）²，求出t，再求出TH=$\frac{1}{2}$，最后根據(jù)MH=$\sqrt{M{H}^{2}+T{H}^{2}}$代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于E，過點(diǎn)G作GF⊥x軸于F，過點(diǎn)T作TH⊥x軸于H，
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)是（m，1-m²），
∴ME=m²-1，
在△ENM和△FNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNE=∠GNF}\\{∠MEN=∠GFN}\\{MN=GN}\end{array}\right.$，
∴△ENM≌△FNG（AAS），
∴GF=ME=m²-1，
∵點(diǎn)T的坐標(biāo)為（t，1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），
∴TH=AO，
在△TNH和△ANO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANO=∠TNH}\\{∠AON=∠THN}\\{TH=AO}\end{array}\right.$，
∴△TNH≌△ANO，
∴HN=ON，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$t，0），
∴EN=$\frac{1}{2}$t-m，
∴FN=$\frac{1}{2}$t-m，
∴OF=$\frac{1}{2}$t-m+$\frac{1}{2}$t=t-m，
∴點(diǎn)G 的坐標(biāo)（t-m，m²-1）；

（2）如圖2，設(shè)另一條拋物線的解析式為y=a（x-t）²-1，
∵拋物線過點(diǎn)M，
∴1-m²=a（m-t）²-1，
∴a=$\frac{2-{m}^{2}}{（m-t）^{2}}$，
∴拋物線解析式為：y=$\frac{2-{m}^{2}}{（m-t）^{2}}$•（x-t）²-1，
∵當(dāng)x=t-m時(shí)，
y=$\frac{2-{m}^{2}}{（m-t）^{2}}$•（t-m-t）²-1=m²-1，
∴點(diǎn)G在拋物線上，
∵M(jìn)H=0.25，
∴MH=1-0.25=0.75，
∴m²-1=0.75，
∴m₁=$\frac{\sqrt{7}}{2}$（舍去），m₂=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
點(diǎn)G的坐標(biāo)為（t+$\frac{\sqrt{7}}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∵點(diǎn)G是在拋物線y=1-x²上，
∴$\frac{3}{4}$=1-（t+$\frac{\sqrt{7}}{2}$）²，
t₁=$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$，t₂=$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$（舍去）
∴TH=t-m=$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴MH=$\sqrt{M{H}^{2}+T{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，注意把不合題意的解舍去．