Question

11．（如圖）AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是線段AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P，設(shè)⊙O的半徑為r，求證：OE•OP=r²．

Answer 1

分析 連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ．由FQ是⊙O直徑得到∠QFD+∠Q=90°，又由CD⊥AB得到∠P+∠C=90°，然后利用已知條件即可得到∠QFD=∠P，然后即可證明△FOE∽△POF，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

解答 證明：如圖，連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ．
∵FQ是⊙O直徑，
∴∠FDQ=90°．
∴∠QFD+∠Q=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠C=90°．
∵∠Q=∠C，
∴∠QFD=∠P．
∵∠FOE=∠POF，
∴△FOE∽△POF．
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{OF}{OP}$．
∴OE•OP=OF²=r²．

點評 此題分別考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、圓周角定理；熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．