Question

14．如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，P是⊙O上一點，D是BP延長線上的一個點，且∠DAP=∠ABP，若AD=4，PD=2，則線段AB的長是2+2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓內接四邊形的性質得到∠APD=∠ACB=60°，過D作DH⊥AP于H，解直角三角形得到PH=1，DH=$\sqrt{3}$，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AP=1+$\sqrt{13}$，根據(jù)相似三角形的性質列方程即可得到結論．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠APD=∠ACB=60°，
過D作DH⊥AP于H，
∴∠AHD=∠DHP=90°，
∵PD=2，
∴PH=1，DH=$\sqrt{3}$，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AP=1+$\sqrt{13}$，
∵∠ADP=∠BPA，∠DAP=∠ABP，
∴△ADP∽△ADB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{AD}$，即$\frac{1+\sqrt{13}}{AB}$=$\frac{2}{4}$，
∴AB=2+2$\sqrt{13}$，
故答案為：2+2$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理的應用，能夠熟練運用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．