Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，DB上的動(dòng)點(diǎn)，DB與AE相交于點(diǎn)M．當(dāng)AE+AF取最小值時(shí)，cos∠EAF的值是（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{13}\sqrt{13}$
• D． $\frac{2}{13}\sqrt{13}$

Answer 1

分析 如圖，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)?shù)菶與等B重合時(shí)，AF⊥BD時(shí)，AE+AF最短．只要證明∠1=∠2，根據(jù)cos∠EAF=cos∠2=$\frac{AD}{BD}$計(jì)算即可．

解答 解：如圖，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)?shù)菶與等B重合時(shí)，AF⊥BD時(shí)，AE+AF最短．

∵∠1+∠DAF=90°，∠2+∠DAF=90°，
∴∠1=∠2，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴cos∠EAF=cos∠2=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{6}{2\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用垂線段最短解決問題，屬于中考�？碱}型．