Question

6．如圖，AB，CD分別是⊙O的弦和直徑，AB⊥CD于點(diǎn)E，若CD=10，AB=8，則sin∠ACD的值為（　�。�

• A． 30°
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；運(yùn)用射影定理分別求出DE、CE、AC的長(zhǎng)度，借助正弦函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，連接AD；
∵CD為⊙O的直徑，且CD⊥AB，
∴∠DAC=90°，AE=BE=4；
設(shè)DE=λ，則CE=10-λ，
由射影定理得：4²=λ（10-λ），
解得：λ=2或8（設(shè)去），
∴CE=10-2=8，
由射影定理得：AC²=CE•CD，
解得：AC=4$\sqrt{5}$，
∴sin∠ACD=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了垂徑定理、射影定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，靈活運(yùn)用垂徑定理、射影定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答．