Question

17．如果拋物線C₁的頂點在拋物線C₂上，同時，拋物線C₂的頂點在拋物線C₁上，那么，我們稱拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)．
（1）已知兩條拋物線①：y=x²+2x-1，②：y=-x²+2x+1，判斷這兩條拋物線是否關(guān)聯(lián)，并說明理由；
（2）拋物線C₁：y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2，動點P的坐標為（t，2），將拋物線C₁繞點P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，若拋物線C₂與C₁關(guān)聯(lián)，求拋物線C₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先求得拋物線①的頂點坐標，然后檢驗是否此點在拋物線②上，再求得拋物線②的頂點坐標，檢驗是否在拋物線①上即可求得答案；
（2）首先求得拋物線C₁的頂點坐標，則可得：點P在直線y=2上，則可作輔助線：作M關(guān)于P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則可求得：點N的坐標，利用頂點式即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）關(guān)聯(lián)．
理由：∵${y_1}={（x+1）^2}-2$，${y_2}=-{（x-1）^2}+2$
又∵-2=-（-1-1）²+2，2=（1+1）²-2成立，
∴${y_1}={x^2}+2x-1與{y_2}=-{x^2}+2x-1關(guān)聯(lián)$；

（2）拋物線C₁：y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2的頂點M的坐標為（-1，-2），
∵動點P的坐標為（t，2），
∴點P在直線y=2上，
作M關(guān)于P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME=NF=4，
∴點N的縱坐標為6，
當y=6時，$\frac{1}{8}$（x+1）²-2=6，
解得：x₁=7，x₂=-9，
①設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x-7）²+6，
∵點M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，
∴a=-$\frac{1}{8}$．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{8}$（x-7）²+6；
②設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x+9）²+6，
∵點M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，
∴a=-$\frac{1}{8}$．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{8}$（x+9）²+6； 
∴C₂的解析式為：$y=-\frac{1}{8}{（x+9）^2}+6$或$y=-\frac{1}{8}{（x-7）^2}+6$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點坐標的求解方法．此題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．