Question

8．如圖，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=1，CD=3，將△ABD沿AB折疊得到△ABE，將△ACD沿AC折疊得到△ACF，延長EB和FC交于點G．
（1）判定四邊形AEGF的形狀，并證明你的結論；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得出∠BAE=∠BAD，∠E=∠ADB=90°，AE=AD，∠FAC=∠DAC，∠F=∠ADC=90°，AF=AD，證出∠EAF=90°，得出四邊形AEGF是矩形，由AE=AF，即可得出結論；
（2）設AD=x，則GF=GE=AE=x，BC=4，BG=x-1，GC=x-3，在Rt△BGC中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出AD，△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC×AD，即可得出結果．

解答 （1）解：四邊形AEGF是正方形；理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠BAE=∠BAD，∠E=∠ADB=90°，AE=AD，
∠FAC=∠DAC，∠F=∠ADC=90°，AF=AD，
∴AE=AF，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°，
∴四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AF，
∴四邊形AEGF是正方形；
（2）解：∵四邊形AEGF是正方形，
∴∠G=90°，
設AD=x，
則GF=GE=AE=x，
由折疊的性質(zhì)得：BE=BD=1，CF=CD=3，
∴BC=4，BG=x-1，GC=x-3，
在Rt△BGC中，根據(jù)勾股定理得：GC²+BG²=BC²，
即（x-3）²+（x-1）²=4²，
解得：x=2±$\sqrt{7}$（負值舍去），
∴AD=2+$\sqrt{7}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×4×（2+$\sqrt{7}$）=4+2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．