Question

3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ODEF的對角線OE在y軸上，將矩形ODEF橫坐標(biāo)原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后，得到矩形OCAB，點E的對應(yīng)點為點A，點F的對應(yīng)點為x軸上點B，已知拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過點A、D、E三點．
（1）請直接寫出點A和點D的坐標(biāo)，點A（-$\sqrt{3}$，1）和點D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（2）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（3）若點P是x軸的上方拋物線上一動點，那么在x軸的上方是否存在另一點Q，使得以點O、B、P、Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+2可得E點坐標(biāo)為（0，2），即OE=2，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可得EF和OF的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點A的坐標(biāo)，根據(jù)長方形的性質(zhì)和三角函數(shù)可得D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法把A（-$\sqrt{3}$，1）和D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）拋物線y=ax²+bx+2，得到方程組，解方程組即可求解；
（3）先根據(jù)矩形的面積公式求出S_矩形ABOC=$\sqrt{3}$，從而得到以O(shè)，B，P，Q為頂點的平行四邊形面積為2$\sqrt{3}$．依題意設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，2），代入拋物線得到方程，解方程求得P₁（0，2），P₂（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2），分兩種情況討論得到點Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由拋物線y=ax²+bx+2可得E點坐標(biāo)為（0，2），即OE=2，
在Rt△OEF中，EF=$\frac{1}{2}$OE=1，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=$\sqrt{3}$，
∵CA=OF=$\sqrt{3}$，AB=EF=OD=1，
∴A（-$\sqrt{3}$，1），
如圖1①，過D點作DG⊥x軸于G，
在Rt△ODG中，DG=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴點D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；   
（2）因為拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過點A、D、E三點
把A（-$\sqrt{3}$，1）和D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3a-\sqrt{3}b+2=1}\\{\frac{3}{4}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+2=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{8}{9}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{9}}\end{array}\right.$．
故所求拋物線表達式為：y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$x+2；
（3）存在符合條件的點Q．
∵由（1）知AB=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴S_矩形ABOC=$\sqrt{3}$，
∴以O(shè)，B，P，Q為頂點的平行四邊形面積為2$\sqrt{3}$．
由題意可知，OB為此平行四邊形一邊，
又∵OB=$\sqrt{3}$，
∴OB邊上的高為2，即P點的縱坐標(biāo)為2，
依題意設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，2），
∴點P在拋物線y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$x+2上，
∴-$\frac{8}{9}$m²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$m+2=2，
解得m₁=0，m₂=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
∴P₁（0，2），P₂（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2），
∵以O(shè)，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)點P₁的坐標(biāo)為（0，2）時，如圖1所示
點Q的坐標(biāo)分別為Q₁（-$\sqrt{3}$，2），Q₂（$\sqrt{3}$，2）；      
當(dāng)點P₂的坐標(biāo)為（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2）時，如圖2所示，
點Q的坐標(biāo)分別為Q₃（-$\frac{13\sqrt{3}}{8}$，2），Q₄（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，2）．
綜上所述，點Q的坐標(biāo)分別為Q₁（-$\sqrt{3}$，2），Q₂（$\sqrt{3}$，2），Q₃（-$\frac{13\sqrt{3}}{8}$，2），Q₄（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，2）．
故答案為：-$\sqrt{3}$，1；$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行四邊形的性質(zhì)，方程思想，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．