Question

8．如圖，已知點(diǎn)A為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)B、C均在圓上，∠C=30°，∠A=∠B=45°，線段OA=$\sqrt{3}$-1，則陰影部分的周長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\frac{4π}{3}$+2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$+2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$+$\sqrt{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，連接OB，由∠A=∠ABC=45°，得到AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．根據(jù)垂徑定理得到BD=CD．在Rt△COD中，設(shè)OD=x，∠C=30°，得到OC=2x，CD=$\sqrt{3}$x=AD，則OA=AD-OD=$\sqrt{3}$x-x=（$\sqrt{3}$-1）x=$\sqrt{3}$-1，解得x=1，則OD=1，OC=2，然后由弧長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可．

解答 解：延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，連接OB．
∵∠A=∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∴BD=CD．
在Rt△COD中，設(shè)OD=x，
∵∠C=30°，
∴∠COD=60°，OC=2x，CD=$\sqrt{3}$x．
∴∠COB=120°，AD=$\sqrt{3}$x．
∴OA=AD-OD=$\sqrt{3}$x-x=（$\sqrt{3}$-1）x．
而OA=$\sqrt{3}$-1，
∴x=1，即OD=1，OC=2，BC=2CD=2$\sqrt{3}$．
∴陰影部分的周長(zhǎng)為：$\frac{120π×2}{180}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{4π}{3}$+2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算．此題實(shí)際上是求劣弧BC的長(zhǎng)度和弦BC的長(zhǎng)度．注意：含30度得直角三角形三邊的關(guān)系．