Question

3．某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子OA．O恰為水池中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，建立如圖所示的平面直角坐標系時，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關系式滿足y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$．根據以上信息，回答下列問題：
（1）柱子OA的高度為$\frac{5}{3}$m；
（2）求噴出的水流與柱子的水平距離為多少m時，水流達到最大高度；最大高度是多少m；
（3）求水池的半徑至少要多少m時，才能使噴出的水流不至于落在池外？
（4）一身高為$\frac{11}{12}$m的小孩，在池子內距柱子周圍多少m的半徑內玩耍，才不至于使水流直接噴到身上？

Answer 1

分析 （1）直接利用x=0求出y的值，進而得出答案
（2）直接利用配方法求出二次函數(shù)最值得出答案；
（3）利用y=0時得出x的值，進而得出水池的半徑取值范圍；
（4）利用y=$\frac{11}{12}$得出x的值，進而得出答案．

解答 解：（1）當x=0，則y=$\frac{5}{3}$，故OA=$\frac{5}{3}$m；
故答案為：$\frac{5}{3}$；

（2）y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{12}$（x²-8x）+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{12}$[（x-4）²-16]+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{12}$（x-4）²+3，
則噴出的水流與柱子的水平距離為4m時，水流達到最大高度；最大高度是3m；

（3）當y=0時，0=-$\frac{1}{12}$（x-4）²+3，
解得：x₁=-2（不合題意舍去），x₂=10，
故水池的半徑至少要10m時，才能使噴出的水流不至于落在池外；

（4）當y=$\frac{11}{12}$，
則$\frac{11}{12}$=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$
解得：x₁=-1，x₂=9，
則在池子內距柱子周圍9m的半徑內玩耍，才不至于使水流直接噴到身上．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及配方法求二次函數(shù)最值，正確掌握二次函數(shù)的最值求法是解題關鍵．