Question

13．如圖，已知與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（5，0）的拋物線l的頂點(diǎn)為C（3，4），拋物線l′和l關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求拋物線l′的函數(shù)表達(dá)式．
（2）將拋物線l′向右平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后新拋物線與x軸交點(diǎn)從左向右依次為D、E，其頂點(diǎn)為F，在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)l上的點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)）分別與l′上的點(diǎn)M′、N′之中關(guān)于x軸對(duì)稱，若四邊形MNN′M′是正方形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出C′點(diǎn)坐標(biāo)，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-3）²-4即可求得拋物線l₂的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由點(diǎn)是平移規(guī)律、點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)進(jìn)行解答；
（3）由題意可知點(diǎn)M、N關(guān)于直線x=3對(duì)稱，正方形MNN′M′的邊長(zhǎng)為2|y₀|，解方程求出y₀即可求出相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，由題意知點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3，-4）．
設(shè)l′的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-3）²-4．（1分）
又因?yàn)辄c(diǎn)A（1，0）在拋物線y=a（x-3）²-4上，
a（1-3）²-4=0，解得a=1．
∴拋物線l′的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-3）²-4或y=x²-6x+5；

（2）如圖2，依題意可得：D（1+m，0），E（5+m，0），F(xiàn)（3+m，-4）
即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴OM=ON．
∵A（-1-m，0），E（1+m，0），
∴A，E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴OA=OE
∴四邊形ANEM為平行四邊形．
∵AC²=（3-1）²+4²=20，
CE²=（5+m-3）²+4²=m²+4m+20，
AE²=（5+m-1）²=m²+8m+16，
若AC²+CE²=AE²，則20+m²+4m+20=m²+8m+16，
∴m=6，
此時(shí)△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴當(dāng)m=6時(shí)，以點(diǎn)A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．

（3）存在滿足條件的點(diǎn)M、N．由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)M、N關(guān)于直線x=3對(duì)稱．
設(shè)M（x₀，y₀），則正方形MNN′M′的邊長(zhǎng)為2|y₀|．
∵點(diǎn)M在l₂上，
∴y₀=（3-|y₀|-3）²-4，
解得y₀=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$．
∴x₀=3-|y₀|=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和平行四邊形和正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．