Question

10．我們約定，在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過象限內(nèi)某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“參照線”．例如，點M（1，3）的參照線有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4（如圖1）．

如圖2，正方形OABC在平面直角坐標系xOy中，點B在第一象限，點A，C分別在x軸和y軸上，點D（m，n）在正方形內(nèi)部．
（1）直接寫出點D的所有參照線：x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+n+m；
（2）若A（6，0），點D在線段OA的垂直平分線上，且點D有一條參照線是y=-x+7，則點D的坐標是（3，4）；
（3）在（2）的條件下，點P是AB邊上任意一點（點P不與點A，B重合），連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A的對應點記為A′，當點A′在點D的平行于坐標軸的參照線上時，寫出相應的點P的坐標（6，2$\sqrt{3}$）或（6，9-3$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)參照線的定義可知，點D（m，n）的所有參照線為：x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+n+m；
（2）利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（3）分兩種情形①如圖1中，當點A′在參照線HM上時，設(shè)PA=PA′=x．②如圖2中，當點A′在參照線DH上時，設(shè)PA=PA′=y．分別構(gòu)建方程即可解決問題；

解答 解：（1）根據(jù)參照線的定義可知，點D（m，n）的所有參照線為：x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+n+m，
故答案為x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+n+m

（2）∵A（6，0），點D在線段OA的垂直平分線上，
∴點D的橫坐標為3，
又∵點D有一條參照線是y=-x+7，
∴x=3時，y=-3+7=4，
∴點D坐標為（3，4），
故答案為（3，4）．
（3）①如圖1中，當點A′在參照線HM上時，設(shè)PA=PA′=x．

易知OA=OA′=6，OH=4，
∴HA′=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴A′M=6-2$\sqrt{5}$，
在Rt△A′PM中，∵A′P²=PM²+A′M²，
∴x²=（4-x）²+（6-2$\sqrt{5}$）²，
∴x=9-3$\sqrt{5}$，
∴P（6，9-3$\sqrt{5}$），
②如圖2中，當點A′在參照線DH上時，設(shè)PA=PA′=y．

易知A′H=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△A′PM中，∵A′P²=PM²+A′M²，
∴y²=3²+（3$\sqrt{3}$-y）²，
∴y=2$\sqrt{3}$，
∴P（6，$2\sqrt{3}$），
故答案為（6，2$\sqrt{3}$）或（6，9-3$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、勾股定理、翻折變換、點的“參照線”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解．