Question

9．如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線EF與AB，CD的延長線分別交于E，F(xiàn)．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AECF是菱形？證明你的結(jié)論；
（3）若四邊形AECF是菱形，AB=6，BC=8，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形可證明△BOE≌△DOF，從而即可得出答案；
（2）先證明四邊形AECF是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定性質(zhì)即可證明；
（3）先證明△ABC∽△AOE，得出比例式求出OE，即可求出EF．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠BEO=∠DFO，
在△BOE與△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠DFO}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）解：當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形；
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
由（1）知OE=OF，則四邊形AECF是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形；
（3）解：∵四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OE=$\frac{1}{2}$EF，
∴∠AOE=90°，
∴∠OAE+∠AEO=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OAE+∠ACB=90°，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=5，∠AEO=∠ACB，
∴△ABC∽△AOE，
∴$\frac{BC}{OE}=\frac{AB}{OA}$，即$\frac{8}{OE}=\frac{6}{5}$，
∴OE=$\frac{20}{3}$，
∴EF=2OE=$\frac{40}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．