Question

11．一張矩形紙片ABCD的邊長分別為9厘米和3厘米，把頂點(diǎn)A和C疊合在一起，得到折痕EF．
（1）證明四邊形AECF是菱形；
（2）計(jì)算BF及折痕EF的長；
（3）求△CEH的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平行四邊形的判定定理求出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)AF=CF即可求出答案；
（2）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可得到AF=CF，設(shè)AF=x，則CF=x，BF=9-x，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可求出CF、BF的長，過E作EM⊥AB交AB于M，在Rt△EMF中利用勾股定理即可求出EF的長；
（3）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知△CEH≌△AED，再由三角形的面積公式即可求解．

解答 解：（1）如圖，

∵AB∥CD，
∴AF∥CE，CF∥HE，
根據(jù)對(duì)稱性，知∠CEH=∠AED，
∵D、E、C三點(diǎn)共線，
∴A、E、H三點(diǎn)共線，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AF=CF，
∴四邊形AECF是菱形；
（2）設(shè)AF=x，則CF=x，BF=9-x．
在△BCF中，CF²=BF²+BC²，
∴x²=（9-x）²+3²，
解得x=5，即CF=5，BF=4．
過E作EM⊥AB交AB于M，則MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1，
EM=3．
∴$EF=\sqrt{E{M}^{2}+M{F}^{2}}=\sqrt{10}$；
（3）根據(jù)對(duì)稱性，知△CEH≌△AED，
所以S_△CEH=S_△AED=$\frac{1}{2}$DE•AD=$\frac{1}{2}$（AF-MF）•AD=$\frac{1}{2}$×4×3=6（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圖形折疊的性質(zhì)及勾股定理，解答此類問題時(shí)首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．