Question

7．在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖①）；
第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖②）．
如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，請解答以下問題：
（Ⅰ）設(shè)直線BM的解析式為y=kx，求k的值；
（Ⅱ）若MN的延長線與矩形ABCD的邊BC交于點P，設(shè)矩形的邊AB=a，BC=b；
（i）若a=2，b=4，求P點的坐標(biāo)；
（ii）請直接寫出a、b應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AN，延長MN交BC于點P，由折疊的性質(zhì)可證△BMP為等邊三角形，由M點的坐標(biāo)可求得k的值；
（Ⅱ）（i）在Rt△ABM中，由三角形的性質(zhì)可求得BM的長，則可求得BP的長，可求得P點坐標(biāo)；
（ii）由題意可知BC≥BP，在Rt△BNP中，由三角函數(shù)的定義可用a表示出BP，則可得到a、b所滿足的條件．

解答 解：
（Ⅰ）連接AN，延長MN交BC于點P，如圖，

∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折疊知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP是等邊三角形，
∵點M在直線y=kx上，
∴k=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=tan60°=$\sqrt{3}$；

（Ⅱ）（i）由題意可知AB=a=2，
在Rt△ABM中，cos∠ABM=$\frac{AB}{BM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2}{BM}$，解得BM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BP=BM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）；
（ii）由題意可知BC≥BP，
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=$\frac{a}{cos30°}$，
∴b≥$\frac{a}{cos30°}$，
∴a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$b．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識．在（Ⅰ）中證得△BMP是等邊三角形是解題的關(guān)鍵，在（Ⅱ）中求得BP的值是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．