Question

3．如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．
（1）求證：DF=AE；
（2）當AB=2時，求AF的值．

Answer 1

分析 （1）連接CF，根據(jù)“HL”證明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=EF，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=EF，然后等量代換即可得證；
（2）根據(jù)正方形的對角線等于邊長的$\sqrt{2}$倍求出AC，然后求出AE，過點E作EH⊥AB于H，判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答 （1）證明：如圖，連接CF，
在Rt△CDF和Rt△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），
∴DF=EF，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠EAF=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，
∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵CE=CD，
∴AE=2$\sqrt{2}$-2，
過點E作EH⊥AB于H，
則△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）=2-$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$EH=2$\sqrt{2}$-2，
∴AF=$\sqrt{2}$AE=4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．