Question

20．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于點F，CE⊥AE，垂足為點E，EG⊥CD，垂足為點G，點H在邊BC上，BH=DF，連接AH、FH，F(xiàn)H與AC交于點M，以下結(jié)論：
①FH=2BH；②AC⊥FH；③S_△ACF=1；④CE=$\frac{1}{2}$AF；⑤EG²=FG•DG，
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①②、證明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，則AM既是中線，又是高線，得AC⊥FH，證明BH=HM=MF=FD，則FH=2BH；所以①②都正確；
③可以直接求出FC的長，計算S_△ACF≠1，錯誤；
④根據(jù)正方形邊長為2，分別計算CE和AF的長得結(jié)論正確；還可以利用圖2證明△ADF≌△CDN得：CN=AF，由CE=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{1}{2}$AF；
⑤利用相似先得出EG²=FG•CG，再根據(jù)同角的三角函數(shù)列式計算CG的長為1，則DG=CG，所以⑤也正確．

解答 解：①②如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠FAD=∠CAF=22.5°，
∵BH=DF，
∴△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠FAD=22.5°，
∴∠HAC=∠FAC，
∴HM=FM，AC⊥FH，
∵AE平分∠DAC，
∴DF=FM，
∴FH=2DF=2BH，
故選項①②正確；
③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，
∴△FMC是等腰直角三角形，
∵正方形的邊長為2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，MC=DF=2$\sqrt{2}$-2，
∴FC=2-DF=2-（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
S_△AFC=$\frac{1}{2}$CF•AD≠1，
所以選項③不正確；
④AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}-2）^{2}}$=2$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$，
∵△ADF∽△CEF，
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{FC}$，
∴$\frac{2}{CE}=\frac{2\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{4-2\sqrt{2}}$，
∴CE=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$AF，
故選項④正確；
⑤延長CE和AD交于N，如圖2，
∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，
∴CE=EN，
∵EG∥DN，
∴CG=DG，
在Rt△FEC中，EG⊥FC，
∴EG²=FG•CG，
∴EG²=FG•DG，
故選項⑤正確；
本題正確的結(jié)論有4個，
故選C．

點評 本題是四邊形的綜合題，綜合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定；求邊時可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函數(shù)列式計算；同時運用了勾股定理求線段的長，勾股定理在正方形中運用得比較多．