Question

2．已知關(guān)于x的方程x²-6x+3m-2=0
（1）若方程有兩個正根，求m的取值范圍；
（2）若方程的兩個根都大于1，求m的取值范圍；
（3）若方程的兩個根一個大于1，一個小于1，求m的取值范圍；
（4）若方程的兩個根分別位于區(qū)間（0，1）和（4，5）上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由△=36-4（3m-2）≥0，得到m≤$\frac{11}{3}$，設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=6，x₁•x₂=3m-2，由于方程有兩個正根，于是得到x₁•x₂=3m-2＞0，即可得到結(jié)果；
（2）由于方程的兩個根都大于1，于是得到（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1＞0，解不等式3m-2-6+1＞0，即可得到m的取值范圍：
（3）一個根大于1，另一個根小于1，即方程兩根與1的差的乘積是負(fù)數(shù)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根的和與兩根的積，根據(jù)（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，即可得到關(guān)于m的方程，即可求得m的值，
（4）由方程x²-6x+3m-2=0兩個根分別位于區(qū)間（0，1）和（4，5）上，得到對應(yīng)的方程的兩個根分別位于區(qū)間（0，1）和（4，5）各有一個零點(diǎn)，于是得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）•f（1）＜0}\\{f（4）•f（5）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（3m-2）•（3m-7）＜0}\\{（3m-10）（3m-7）＜0}\end{array}\right.$，解得m的取值范圍即可．

解答 解：∵△=36-4（3m-2）≥0，
∴m≤$\frac{11}{3}$，
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=3m-2，
（1）∵方程有兩個正根，
∴x₁•x₂=3m-2＞0，
∴m＞$\frac{2}{3}$，
∴若方程有兩個正根，m的取值范圍：$\frac{2}{3}$＜m≤$\frac{11}{3}$，
（2）∵若方程的兩個根都大于1，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1＞0，
∴3m-2-6+1＞0，
∴m＞$\frac{7}{3}$，
∴若方程的兩個根都大于1，m的取值范圍：$\frac{7}{3}$＜m≤$\frac{11}{3}$；
（3）設(shè)兩根為x₁＞1，x₂＜1．
那么x₁-1＞0，x₂-1＜0．
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0．
x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0．
∴3m-2-6+1＜0，
∴m$＜\frac{7}{3}$；
（4）設(shè)f（x）=x²-6x+3m-2=0，則f（x）=0的兩個根分別屬于（0，1）和（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）•f（1）＜0}\\{f（4）•f（5）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（3m-2）•（3m-7）＜0}\\{（3m-10）（3m-7）＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}$＜m＜$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意正確的列出不等式是解題的關(guān)鍵．